a.

\(y'=-\dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{6}{5}x^2-x+5\)

b.

\(y'=\dfrac{\left(x^2+4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}\)

c.

\(y=\left(3x-2\right)^{\dfrac{1}{3}}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{3}\left(3x-2\right)^{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\left(3x-2\right)^2}}\)

d.

\(y'=2\sqrt{x+2}+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x+2}}=\dfrac{6x+7}{2\sqrt{x+2}}\)

e.

\(y'=3sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right).\left[sin\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right)\right]'=-15sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right).cos\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right)\)

g.

\(y'=4cot^3\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right)\left[cot\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)\right]'=12cot^3\left(\dfrac{\pi}{6}-3x\right).\dfrac{1}{sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)}\)

a: \(y=\left(2x^2-x+1\right)^{\dfrac{1}{3}}\)

=>\(y'=\dfrac{1}{3}\left(2x^2-x+1\right)^{\dfrac{1}{3}-1}\cdot\left(2x^2-x+1\right)'\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(4x-1\right)\left(2x^2-x+1\right)^{-\dfrac{2}{3}}\)

b: \(y=\left(3x+1\right)^{\Omega}\)

=>\(y'=\Omega\cdot\left(3x+1\right)'\cdot\left(3x+1\right)^{\Omega-1}\)

=>\(y'=3\Omega\left(3x+1\right)^{\Omega-1}\)

c: \(y=\sqrt[3]{\dfrac{1}{x-1}}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(\dfrac{1}{x-1}\right)'}{3\cdot\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1'\left(x-1\right)-\left(x-1\right)'\cdot1}{\left(x-1\right)^2}}{\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}}\)

\(=\dfrac{-x}{\left(x-1\right)^2}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{3}\)

\(=\dfrac{-x}{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^4}\cdot3}\)

d: \(y=log_3\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)'}{\dfrac{x+1}{x-1}\cdot ln3}\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{\left(x+1\right)'\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}:\dfrac{ln3\left(x+1\right)}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{x-1-x-1}{\left(x-1\right)^2}\cdot\dfrac{x-1}{ln3\cdot\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\cdot ln3}\)

e: \(y=3^{x^2}\)

=>\(y'=\left(x^2\right)'\cdot ln3\cdot3^{x^2}=2x\cdot ln3\cdot3^{x^2}\)

f: \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}\)

=>\(y'=\left(x^2-1\right)'\cdot ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}=2x\cdot ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}\)

h: \(y=\left(x+1\right)\cdot e^{cosx}\)

=>\(y'=\left(x+1\right)'\cdot e^{cosx}+\left(x+1\right)\cdot\left(e^{cosx}\right)'\)

=>\(y'=e^{cosx}+\left(x+1\right)\cdot\left(cosx\right)'\cdot e^u\)

\(=e^{cosx}+\left(x+1\right)\cdot\left(-sinx\right)\cdot e^u\)

a) \(y=\left(2x^2-x+1\right)^{\dfrac{1}{3}}\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{1}{3}.\left(2x^2-x+1\right)^{\dfrac{1}{3}-1}.\left(4x-1\right)\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{1}{3}.\left(2x^2-x+1\right)^{-\dfrac{2}{3}}.\left(4x-1\right)\)

b) \(y=\left(3x+1\right)^{\pi}\)

\(\Rightarrow y'=\pi.\left(3x+1\right)^{\pi-1}.3=3\pi.\left(3x+1\right)^{\pi-1}\)

c) \(y=\sqrt[3]{\dfrac{1}{x-1}}\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{\left(x-1\right)^{-1-1}}{3\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^{3-1}}}=\dfrac{\left(x-1\right)^{-2}}{3\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^2}}=\dfrac{1}{3.\sqrt[]{x-1}.\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^2}}\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{1}{3\left(x-1\right)^{\dfrac{1}{2}}.\left(x-1\right)^{\dfrac{2}{3}}}=\dfrac{1}{3\left(x-1\right)^{\dfrac{7}{6}}}=\dfrac{1}{3\sqrt[6]{\left(x-1\right)^7}}\)

d) \(y=\log_3\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{\dfrac{1-\left(-1\right)}{\left(x-1\right)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}.\ln3}=\dfrac{2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right).\ln3}\)

e) \(y=3^{x^2}\)

\(\Rightarrow y'=3^{x^2}.ln3.2x=2x.3^{x^2}.ln3\)

f) \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}\)

\(\Rightarrow y'=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}.ln\dfrac{1}{2}.2x=2x.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-1}.ln\dfrac{1}{2}\)

Các bài còn lại bạn tự làm nhé!

a/ \(y=\left(x^3-3x\right)^{\dfrac{3}{2}}\Rightarrow y'=\dfrac{3}{2}\left(x^3-3x\right)^{\dfrac{1}{2}}\left(x^3-3x\right)'=\dfrac{3}{2}\left(3x^2-3\right)\sqrt{x^3-3x}\)

b/ \(y'=5\left(\sqrt{x^3+1}-x^2+2\right)^4\left(\sqrt{x^3+1}-x^2+2\right)'=5\left(\sqrt{x^3+1}-x^2+2\right)^4\left(\dfrac{3x^2}{\sqrt{x^3+1}}-2x\right)\)c/ 

\(y'=14\left(x^6+2x-3\right)^6\left(x^6+2x-3\right)'=14\left(x^6+2x-3\right)^6\left(6x^5+2\right)\)

d/ \(y=\left(x^3-1\right)^{-\dfrac{5}{2}}\Rightarrow y'=-\dfrac{5}{2}\left(x^3-1\right)^{-\dfrac{7}{2}}\left(x^3-1\right)'=-\dfrac{15x^2}{2\sqrt{\left(x^3-1\right)^7}}\)

Lời giải:
a. Hệ số 2>0 nên hàm đồng biến 

b. Hệ số $1-\sqrt{2}<0$ nên hàm nghịch biến 

c. Hệ số $-5<0$ nên hàm nghịch biến 

d. Hệ số $1+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến

e. Hệ số $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm đồng biến 

f. Hệ số $2+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến.

Ta có:

\(\sqrt{2x\left(x+y\right)^3}+y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(2x^2+2xy\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)}+\sqrt{2}y.\sqrt{x^2+y^2}\)

\(\le\sqrt{\left(2x^2+2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+y^2+x^2+y^2\right)}=2\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Thế vào pt đầu:

\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow t^2-\left(x+3\right)t+3x=0\)

\(\Delta=\left(x+3\right)^2-12x=\left(x-3\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{x+3-\left(x-3\right)}{2}=3\\t=\dfrac{x+3+x-3}{2}=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow...\)

2. 4 biến xét dài quá, để người khác

2.

\(a^2+b^2+c^2+d^2=2d^2\) chẵn

\(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) luôn chẵn

\(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn

\(\Rightarrow\) trong 4 số, luôn có 2 chẵn 2 lẻ, hoặc 4 số đều chẵn 

Cả 2 trường hợp đều suy ra abcd chia hết cho 4 (tích của ít nhất 2 số chẵn)

Ủa mà nhìn lại bài 2 làm sai (nhìn sai đề thành chứng minh abcd chia hết cho 4, trong khi thực tế ko có d)

Vậy làm như sau:

Do bình phương của 1 số nguyên chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\) chia 4 dư 0, 1, 2, 3 (tùy thuộc trong số a;b;c có bao nhiêu số là chẵn)

Trong khi đó \(d^2\) chia 4 dư 1 nên ta chỉ có 2 TH sau:

TH1: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia hết cho 4

\(\Rightarrow a;b;c\) đều chẵn \(\Rightarrow abc⋮4\)

TH2: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia 4 dư 1

\(\Rightarrow\) Trong a;b;c có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn

\(\Rightarrow abc⋮4\)

a: ĐKXĐ: 2*sin x+1<>0

=>sin x<>-1/2

=>x<>-pi/6+k2pi và x<>7/6pi+k2pi

b: ĐKXĐ: \(\dfrac{1+cosx}{2-cosx}>=0\)

mà 1+cosx>=0

nên 2-cosx>=0

=>cosx<=2(luôn đúng)

c ĐKXĐ: tan x>0

=>kpi<x<pi/2+kpi

d: ĐKXĐ: \(2\cdot cos\left(x-\dfrac{pi}{4}\right)-1< >0\)

=>cos(x-pi/4)<>1/2

=>x-pi/4<>pi/3+k2pi và x-pi/4<>-pi/3+k2pi

=>x<>7/12pi+k2pi và x<>-pi/12+k2pi

e: ĐKXĐ: x-pi/3<>pi/2+kpi và x+pi/4<>kpi

=>x<>5/6pi+kpi và x<>kpi-pi/4

f: ĐKXĐ: cos^2x-sin^2x<>0

=>cos2x<>0

=>2x<>pi/2+kpi

=>x<>pi/4+kpi/2

a: \(y'=\left(x^2+2x\right)'\left(x^3-3x\right)+\left(x^2+2x\right)\left(x^3-3x\right)'\)

\(=\left(2x+2\right)\left(x^3-3x\right)+\left(x^2+2x\right)\left(3x^2-3\right)\)

\(=2x^4-6x^2+2x^3-6x+3x^4-3x^2+6x^3-6x\)

\(=5x^4+8x^3-9x^2-12x\)

b: y=1/-2x+5 

=>\(y'=\dfrac{2}{\left(2x+5\right)^2}\)

c: \(y'=\dfrac{\left(4x+5\right)'}{2\sqrt{4x+5}}=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+5}}\)

d: \(y'=\left(sinx\right)'\cdot cosx+\left(sinx\right)\cdot\left(cosx\right)'\)

\(=cos^2x-sin^2x=cos2x\)

e: \(y=x\cdot e^x\)

=>\(y'=e^x+x\cdot e^x\)

f: \(y=ln^2x\)

=>\(y'=\dfrac{\left(-1\right)}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}\)

a)TXĐ D=[-2:2]  

\(\forall x\in D\Rightarrow-x\in D\)

f(-x)=\(\sqrt{2-\left(-x\right)}\) +\(\sqrt{2-x}\) =\(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}=f\left(x\right)\)

Hàm số đồng biến

Câu b) c) giống rồi tự xử nha

d)\(Đk:x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\)

TXĐ D=R

\(\forall x\in D\Rightarrow-x\in D\)

\(f\left(-x\right)=\sqrt[]{\left(-x\right)^2+4x+4}+\left|2-x\right|=\sqrt{x^2+4x+4}+\left|2-x\right|\ne\mp f\left(x\right)\)

Hàm số không chẵn không lẻ